直线的两点式方程教学：困惑、解惑与感悟

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   一、问题提出
        在上到必修2第三章《直线与方程》时，我们学校同年级教文科的一位新教师问我“直线的两点式方程要不要上” ？对于她问这个问题的原因我可以理解，甚至有同感，教给学生干吗呢？理由一：既然已经学了点斜式方程，直接由直线上的两点 、 求出直线的斜率 ，再由直线的点斜式不就把方程求出来了嘛。理由二：两点式方程结构复杂，即使教给学生，学生也未必能记住，如果记错了还不如不教，得不偿失。理由三：两点式方程限制条件多，垂直于坐标轴的直线不能用两点式来表示。正巧，我们学校和海盐高级中学、平湖当湖中学期中考试时是三校联考的，到平湖当湖中学去商讨期中考试的范围时，借此机会我也拿这个问题请教了两所学校的备课组长，一致认为直线的两点式该弱化处理，学生容易算错。种种理由显示直线的两点式方程似乎没有“立足之地”了。在新课标下到底如何定位、把握直线的两点式方程的教学呢？
        二、课前分析
        1.学情分析
        在初中，学生学了一点平面几何的知识，那时他们还仅限于图形的处理。到了高中从《直线与方程》、《圆与方程》到选修1-1《圆锥曲线》这三章他们开始接触解析几何。解析几何的本质就是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在《直线与方程》这一章中，以平面直角坐标系为平台，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。
        从几何直观到代数表示                      从代数表示到几何直观     
        （建立直线的方程）                    （通过方程研究几何性质和度量）
        直线的方程起了一个“桥梁”的作用。直线的方程重要性不言而喻了。
        2.两点式本身的优点分析
        直线的两点式体现了“两点确定一条直线”这一朴素的数学理念；斜率不存在时的直线方程可用两点式的变形写出，向直线的一般式方程完成过渡；研究两点式方程的目的不是说这种形式比较简单或是好用，两点式方程起着承上启下的作用，它保持了知识的完整性和系统性，在思想与方法层面上，对学生分析问题解决问题的能力的培养应该有好处；两点式方程的表达式工整，结构优美，如果设它等于一个参数，马上可以得到直线的参数方程，为将来选修模块中的直线的参数方程做了铺垫，这是其它方程所不能代替的。
        如果按照点斜式的程度来上这节课的话，会不会真的“上了还不如不上” 呢？带着这个困惑我决定进行一次“详细上这堂课”的教学尝试。
        三、上课实录
        因为上节课学过了直线方程的点斜式，所以我上课一开始给出了一道小练习：已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.让学生独立当场完成。做完之后我统计了一下，用点斜式方法来求的占 ，还有 的同学是用初中学过的待定系数设 求一次函数的方法。前者用时较短，后者用时较长。看到这个结果，我基本心中有数，故意不做点评我开始了新课的教学。
        师：前面我们已经探索了确定直线位置的几何要素有哪些？
        生众：两点确定一条直线。
        师：对。还有吗？
        生：已知一个点和倾斜角。
        师：很好。倾斜角和斜率都表示直线的倾斜程度，所以已知一个点和直线的斜率也可以确定一条直线。已知直线过点 和它的斜率 （或倾斜角 ）可以求出直线的方程为 ，我们把这个方程称为直线的点斜式，那么已知直线过了两个点怎么求直线的方程呢？比如开头那个小练习，我们可以怎么做呢？
        让两个学生起立作答。对于这两种做法我都给予了肯定。那么已知直线上两点求直线方程有没有更快捷的方法呢？我们一起探讨吧。
        师：已知 、  ，如何求直线  的方程？  
        生1：先求出直线的斜率 ，再写出直线的点斜式方程： 。
        师：能不能变形？上式的形式不便于记忆及应用，可以把上式进行变形，使它的形式比较对称和美观，能够体现数学之美。你认为什么形式更美观些？
        生2：  。
        师：这是等价变形吗？两边除以 时，必须 。  
        生3： 。
        师：同理 时才为等价变形。我们可以用方程   
        表示过两点 、  的直线方程了。这个方程形式体现了“对称美”，突出了两点的坐标，根据直线所过的两点的坐标可以立即写出直线的方程，所以我们就把这个形式的方程就叫做直线的两点式方程，简称两点式。
        师：注意到方程后面的两个限制条件，两点式方程不能表示哪些直线呢？
        生：当 时，直线倾斜角是90°，当 时，直线的倾斜角是0°。这两种直线不能用两点式方程表示。
        师：真聪明。那这两种直线就没有方程吗？
        生：有的。当 ，直线倾斜角是90°时，直线垂直于 轴，直线上的每一点横坐标都是 ，所以可用 表示。同理当 ，直线的倾斜角是0°时，直线可用方程 表示。
        师：非常好。直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，就如同直线的点斜式不能表示斜率不存在的直线一样，有点残缺美。但是有没有办法弥补这点小遗憾呢？把直线的两点式方程怎么变一变就能表示平面上的任意一条直线？    生4：分式化成整式，去分母。没有分母它就没有限制条件了。
        师：真的太棒了。对角相乘把方程化为 就可以了。
        书上之所以不化成这种形式，是为了讲究和谐美和对称美。以后大家在直接使用两点式求直线方程时，可要看清楚两个点的坐标哟，能不能用两点式表示才是关键。
        （后面就是例题讲解和练习的巩固，在此省略。）
        通过课堂上学生热烈的讨论探究以及例题讲解、课后练习的巩固，我发现教学前的困惑，基本消除了。上完了《直线的一般式》之后，我观察学生的作业，再碰到已知两点求直线的方程时，他们用的多的还是直线方程的两点式。不用担心学生会算错，要算错的话不管什么方法都会算错。结构复杂也不是问题，一节课的探究下来，对结构也是理解的比较清楚了。通过这节课的备课、教学，我发现教科书给了我们一个新观念、新方法，也为数学教学提供了新思路。
        四、课后反思
        1、研读课标，准确定位教学目标
        新课标准提出：“高中数学应该返璞归真，努力揭示数学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念的逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法；教学中要注意沟通各个部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。”
        课程标准是教学的依据，务必认真、反复地研读，深刻领会、把握课程标准的精神，领悟新课改的理念。教学必须以课程标准为“纲”，孰轻孰重，清清楚楚，才能切实地贯彻新课改的精神和课标的理念。
        通过两点式方程的教学，使学生认识到“两点确定一条直线”这一朴素的数学文化理念；让学生知道直线的方程有五种形式，增强了知识的系统性，扩大了学生的视野。教学中让学生分析方程的不同，以便于学生形成批判性的思维习惯；通过分析两点式方程的结构，让学生体会到数学的对称美。达成以上目标只需十几分钟，如果放弃这么好的一个教学时机，对学生的终生发展会留有遗憾。
        2、 研读教材，准确把握教学目标
        教科书是解读课程标准的范本。它凝聚着编者对课标的准确理解的心血，蕴藏着丰富的数学教育内涵，体现着数学的科学性和编排的合理性、艺术性。作为一线教师只有研读教科书，才能准确把握教学目标，悟出教科书的精髓，发挥教科书的教育作用。
        在人教A版中，直线的斜截式和截距式是通过两道例题的形式给出的，在课标中明确提到“根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。”教材的编写者在编写教材时的良苦用心可见一斑。我们只有不断对教材中的每个细节深入研究，领悟教材编写者的意图，才是真正的“用教材”，才能提高个人的教学水平，才能真正把课堂教学落到实处。
        3、研究学法，提高效率、贯彻理念
        对于高中生来说，多进行一些学法指导，在教学时尽可能遵循方法和知识双重走向，让学生体验教科书分段设计、分层推进的策略，学会自主探究、合作交流的学习方式，为后续学习提出一个模式，学生自然而然地适应高中数学的学习。
        在这节直线的两点式教学课中，老师着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来，采用探究、讨论的教学方式，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与直线的两点式方程的探索、应用活动。
        通过这一节“直线的两点式”的教学前的课前困惑、上课解惑、课后反思。笔者深刻地感悟到：教学就是一种过程的经历、一种过程的体验、一种过程的感悟。