由于毛细现象液面上升高度计算的思考

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【摘要】  毛细现象在日常生活和科技生产中都有着重要的作用。大部分同学在计算毛细管中液面上升高度时，往往因为不能抓住模型的本质而产生错误。本文针对两种不同的模型通过对比计算方法，指出了错误产生的原因从而加以规避。

【关键词】  毛细现象; 高度计算; 表面张力

　毛细现象在日常生活及生命活动的过程中都有着重要的意义，液体透过多孔性物质、植物的吸收和输运水分以及动物的血液在毛细血管中的流动等过程中，毛细现象都起着重要的作用。医学物理教材[1，2]在计算毛细管中润湿液体上升高度时，综合拉普拉斯公式和静止液柱内部某两点压强差的联系进行计算。如图1，设毛细管的截面为圆形，半径为r，管内凹形弯月面是半径为R的球面的一部分，接触角为φ ，由于毛细现象在管内上升的液柱高度为h，A点恰在球形液面下，C点恰在水平液面下，B点为毛细管内与C等高的一点。

　　图1 液体在毛细管内的升降

　　解题过程如下：

　　由拉普拉斯公式，对A点有 PA=p0-2αR ，

　　由静止液柱内两点压强关系结合B、C两点等高：pB=pA+ρgh=pc=p0 ，

　　接触角与毛细管内径关系：cosφ=rR

　　联立上面的方程，最终计算得毛细管内液面上升的高度：

　　h=2αcosφρgr

　　在处理教材上的一道习题[1]时，许多同学套用教材分析毛细管时所用的几条公式解题，发现结果不正确，习题如下：将两个平行板插入液体中，由于毛细现象使两板间的液面上升。如图2所示。试证明两板间液面上升的高度h=2αcosφρgr ，其中 为液体的表面张力系数， 为液体的密度，θ为接触角，d为两板间距离。　　图2 习题

　　图3 表面张力图示

　　之所以不正确，是因为他们没有真正理解拉普拉斯公式的适用范围。我们在推导拉普拉斯公式时所选的模型，液面是球冠型，而书后习题的液面不是;回顾拉普拉斯公式的推导过程，是从特定形状液面所受表面张力的计算入手，这才是求解此类问题的本质出发点。所以处理书后习题时应针对题中特定形状的液面，从受力平衡的角度计算重力和表面张力。如下解题：

　　设板长为l ，则表面张力F1=F2=αl ，将F1 和F2 分别分解为竖直分量与水平分量，如图3所示，则水平分量F″1″ 和F″2 互相抵消。用F表示竖直分量的合力，则F=F′1+F′2 ∴ F=2αlcosθ

　　设两平行板间水的重力为G，则：G=mg=ρ·hld·g

　　因为重力G与表面张力的竖直分量F平衡，即： G=F

　　解出： h=2αcosφρgd

　　对比教材上的毛细管情况和这道题目不难发现二者本质上的相同点：我们针对这种特定液面计算了表面张力，其效果等同于毛细管情况中的拉普拉斯公式;涉及到的重力，相当于毛细管内静止夜柱内部压强的效果，在初中物理的教学中我们曾接触过相关的计算。

　　对这个问题的困惑在学生中普遍存在，根本原因是对公式的模型及适用条件把握的不够。通过上述分析对比，我们明确了分析物理问题，尤其是针对情况表面类似的模型，我们只有掌握了解题思想，从最根本最原始的出发点出发进行解题，而不是一味生搬硬套，不加区别地死套公式，才能真正领悟这门课程的精髓，才能把这门课程学好。

【参考文献】
  　1 梁路光，赵大源. 医用物理学. 北京:高等教育出版社， 2004，158～160;163.

　　2 仇惠，余大昆. 医学物理学. 北京:科学出版社，2008，123～124.